Hi~ I'm also a Korean teacher!

만나서 반갑습니다~~

안부~~~

마리나씨, 요즘 어떻게 지내요?

=> 마리나씨, 요즘 어떻게 지내세요? (a bit polite)

=> 마리나씨, 요즘 어떻게 지내시나요? (more formal)

저는 요즘에 좀 바빠요.

Good Good

대학교에 많이 공부도 하고 회사에 많이 일도 해요. 정신이 없어요.

=> 대학교에서 공부도 많이 하고 회사에서 일도 많이 해요. 정신이 없어요

=> 대학교에서 공부도 많이 하고 회사에서 일도 많이 해요. 정신이 (하나도) 없어요

We put the adverbs after the objects :)

For 3rd one, I put 하나도 for more native like sentence.

그런데 다음 주에는 시간이 있어요. 즐거워요.

=> 그런데(근데) 다음 주엔 시간이 생겨요. 즐거워요.

=> 그런데(근데) 다음 주엔 시간이 나요. 즐거워요.

When you say 시간이 있다, it seems like you have open time to arrange meetings with your friends or so, with the person you wrote for.

But when you say '시간이 생겨요' it just means that you have some free time.

'시간이 나요' means you have free time, in real native Korean words.

그래서 집에 쉴거예요.

Good!

haha, you should try 시간이 나요 to your native korean friends sometime,

they will be surprised to hear that. It's not easy for non Korean people to learn from textbook :)

See you!

안부~~~

마리나씨, 요즘 어떻게 지내요?
저는 요즘에 좀 바빠요.

대학교에 에서 많이 공부도 많이 하고, 회사에 많이 일도 많이 해요.

정신이 없어요.
그런데 다음 주에는 시간이 있어요.

즐거워요.
그래서 집에서 쉴거예요.

Very good writing ! 

Cheer up ! ^^