Bueno, en realidad es una construcción que se usa en el habla, lo correcto es "me olvidé de". Como función sintáctica es un Signo de Cuasirreflejo, es decir que depende del verbo "olvidarse", allí tienes el SE, pero como pronombre enclítico (enclítico=que se agrega detrás del verbo). Como clase de palabra o categoría gramatical, es un pronombre.
Lo usamos en casos como:
"Juan y María se peinan", en ese caso es un Objeto Directo recíproco, porque uno peina al otro.
"Juan se peina", también es OD, porque el "se" sería como decir "Juan lo peina" (el OD se reconoce porque se lo reemplaza por "lo", "los", "la" o "las"), sólo que, como se lo hace a sí mismo, necesita el pronombre "se".
Si dices "Juan se lo dio a María", el "se" refiere a María, así que es Objeto Indirecto (reemplazable por "le" o "les"), como decir "Juan le dio..." el "lo" reemplazaría a algún objeto, como no puedo decir "Juan le lo dio a María", "le-lo" no queda bien, se utiliza el "se".
Es difícil de explicar, espero haber sido lo más clara posible. Saludos.