einander = ersetzt das Objekt, wenn es in beide Richtungen geht. (Englisch: "each other"). Genauso wie man Präpositionaladverbien bildet (von X -> davon, mit X -> damit) geht es auch bei "einander": von X -> voneinander mit X -> miteinander Ich liebe X -> Wir lieben einander. Ich hasse X -> Wir hassen einander. Ich habe mich von X verabschiedet -> Sie haben sich voneinander verabschiedet. Das Kind hat mit X gepielt -> Die Kinder haben miteinander gespielt. Also sind "Sie verabschiedeten sich einander" und "Sie hassten voneinander tödlich" falsch; man kann die Präpositionen nicht austauschen. "Gegenseitig" bzw. "wechselseitig" ist ein Adverb, dass eine ähnliche Bedeutung hat (aber "wechselseitig" = abwechslend, nacheinander). Es ersetzt nicht das Objekt wie "einander". Wir haben uns vorgestellt (intransitiv) -> Wir haben uns gegenseitig vorgestellt. Ich habe mich X vorgestellt (transitiv) -> Wir haben uns einander vorgestellt. Ich habe einen Spielzug gemacht, dann hast du einen Spielzug gemacht -> Wir haben wechselseitig Spielzüge gemacht.