私の専攻は英語だから、答えてみた。

日本語はまた上手にできなくて、英語で答えた。役に立てられるかな？

"dream" is an intransitive verb, "of" as a preposition followed by a gerund phrase "becoming a dancer" forms a prepositional phrase to modify "dream".

回答が遅くなりましたが、質問に興味があり、少し調べましたので、補足させて下さい。

知人などに聞いてみましたが、dreamedを自動詞Ｖ、of becoming a dancerを修飾句Ｍとする考え方と、dreamed ofを一つの纏まった動詞、つまり群動詞Ｖとみて、この群動詞が他動詞なので、becoming a dancerを目的語Ｏとする考え方と、両方あるみたいです。

そういう意味では、あくまでも考え方・立場の問題で、keikoさんの見方が必ずしも間違いとは言えないと思いますよ。なお、群動詞（Phrasal verb）とは、動詞＋前置詞、動詞＋副詞などの組み合わせによって、元の動詞と少し違う意味を成す熟語のことです。

ちなみに、3)については、質問文中に説明されているように、gaveだけで考えるのではなくて、gave upの群動詞について他動詞と見ます。dream/dream ofのように、動詞一語の場合と、群動詞になった場合とで、自動詞／他動詞が入れ替わることがあるからです。

ご参考になれば、幸いです。

Leonard, thank you very much for your concern. I don''t know how to explain these English grammar in English since I have been learning English grammar in Japanese. Thank you for your concern and message. (^^)

 from keiko 

こんにちは。

私はそんなに英文法に詳しいわけではないですが、説明させてください。

keikoさんが迷っておられるのは、文型が

（１）S+V　なのか、（２）S+V+Oなのかの判別ですよね？

一番大きいポイントは、この動詞（V)が目的語を必要とする他動詞か、あるいは、目的語が不要な自動詞かどうかということだと思います。

（１）のVは、自動詞、（２）のVは他動詞だということです。

例文の

３）She gave up smoking and drinking.

このgaveは他動詞です。だから、目的語が必要で、それは、smoking and drinkingです。

UPは副詞です。

４）I never dreamed of becoming a dancer.

このdreamedは、自動詞です。だから、of becoming a dancerは、修飾句です。

上の文は、次の文で言い換え可能です。この↓の文の方が、もしかしたらイメージがつかみやすいでしょうか。

I never dreamed about becoming a dancer.

以下のリンクがご参考になると思います。

http://ejje.weblio.jp/content/give+up

http://ejje.weblio.jp/content/dream

以上、少しでもお役にたてば、嬉しいです。