Cónyugue y esposo (a) tienen el mismo significado, sólo que cónyugue es mas formal y se usa mas en términos legales (documentos).

El término «cónyuge» es de género común,1 es decir, se puede usar para referirse a un hombre («el marido» o «el cónyuge») o a una mujer («la mujer» o «la cónyuge»). Cuando el sexo es desconocido normalmente se dice «el cónyuge» aunque también se puede decir «el o la cónyuge». Como sinónimo de cónyuge, se suele utilizar el término «esposo» o «esposa», aunque técnicamente no son equivalentes, pues son esposos también quienes han celebrado los esponsales, pero aun no el matrimonio. El uso del término cónyuge en lugar de marido, mujer, esposo o esposa, se ha ido extendiendo en el área del Derecho de familia por diversos motivos, entre los cuales cabe destacar: Que la gradual equiparación de los sexos en derechos y deberes dentro del matrimonio, muchas legislaciones han preferido evitar la mención a cada una de las partes por separado, y hablar siempre de «cónyuges», dejando claro la igualdad jurídica de ambos. Recientemente, con la aparición de la posibilidad en algunos países del matrimonio entre personas del mismo sexo se ha hecho necesario en sus legislaciones utilizar siempre términos neutros o de género común (no «esposa» o «marido»). http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3nyuge

Cónyuge se reserva a situaciones legales.No suele utilizarse en situaciones verbales o habladas. Esposo/a se utiliza en el habla formal, por lo que puede sonar cursi. Es más frecuente y coloquial utilizar los términos de mujer-marido(cuando hay matrimonio) o simplemente "pareja"(cuando el hombre y la mujer viven juntos sin estar casados o cuando los cónyuges casados son del mismo sexo)

Cónyuge normalmente se usa en situaciones más formales y menos personal

Conyuge means "spouse" it can be feminine or masculine. Whereas "esposo" can only be masculine, the feminine would be "esposa".