To sleep, verbo "dormir".
I want to sleep = quiero dormir.
Sleep, substantivo "sueño"
Last night I did not get enough sleep = anoche no dormí lo suficiente (literalmente "anoche no obtuve suficiente sueño").
Asleep, adverbio "dormido/durmiendo".
He is asleep = él está dormido.
She will fall asleep = ella se quedará dormida.
Sleepy, adjetivo "somnoliento".
I am sleepy = tengo sueño (literalmente "estoy somnoliento").
Espero que eso ayude.