Son palabras similares, usualmente se usan como intercambiables, pero tienen una diferencia: echar denota que algo se lanza, y poner simplemente es dejarlo caer; por ejemplo "me eché perfume" remarcaría que te "aventaste" el perfume al cuerpo, y decir "me puse perfume" denotaría simplemente que pusiste perfume sobre tu cuerpo. En este caso "me eché a reír" denota una acción más impactante, explicándolo de otra manera: si te echas a reír, es que - de pronto - comenzaste a reír, y si te pones a pensar, es que empiezas a pensar, sin tanto impacto.
También, echarse es algo más físico: Me eché a reír/correr/saltar o me puse a pensar/hablar/observar.
Espero que mi respuesta no sea muy ambigua.