Hola.
Ya te han contestado pero intentaré darte una guía más.
Es verdad que son sinónimos, pero en determinados contextos no quedan bien, y a los nativos nos suena mal cuando son empleados en determinados contextos.
Digamos que a medida que obtenemos cosas de mayor valor, "lograr" y "conseguir" son más sinónimos, pero cuando nos referimos a cosas de poco valor nos suena mejor usar "conseguir", ya que "lograr" implica esfuerzo personal. De hecho tenemos el sustantivo "logro" que implica algo conseguido con mucho esfuerzo. Te pondré algunos ejemplos:
HE LOGRADO UN CARAMELO
implica que te esforzaste para obtenerlo, lo cual nos suena raro, a no ser que te hayas metido en alguna situación peligrosa para obtenerlo, en ese caso sonará bien, ya que te sacrificaste por conseguir un caramelo.
HE CONSEGUIDO UN CARAMELO
Estás indicando que obtuviste el caramelo con o sin esfuerzo
HE LOGRADO UNA HOJA DE PAPEL
Aquí estás diciendo que te ha costado mucho conseguir la hoja de papel. La usarías en un contexto en que era casi imposible obtener una hoja.
HE CONSEGUIDO UNA HOJA DE PAPEL
Simplemente la has cogido de algún sitio, con o sin esfuerzo.
Por eso en el ejemplo de "conseguí la leche en el supermercado" no se puede usar "logré" ya que no cuesta tanto encontrar leche en un supermercado.
Cuando obtienes cosas de valor grande (materiales o inmateriales) las dos palabras se vuelven más sinónimas. Todos los ejemplos siguientes son sinónimos, pero con "lograr" siempre queda la sensación de que te has esforzado más:
HE CONSEGUIDO/ LOGRADO APRENDER FRANCÉS EN UN MES
HE CONSEGUIDO/ LOGRADO LA PAZ MUNDIAL
Saludos.