La diferencia básica es construcción de la frase. 買い物をします significa "hecer las compras", o sea, "ir de compras". El verbo de esta frase es します/する HACER y el objeto es 買い物 COMPRAS, por eso se pone を después del objeto. 買います es del verbo 買う COMPRAR como ya sabes, y necesita objeto(s). comprar algo/un libro/un café = 何かを/本を/コーヒーを買います。 Otros ejemplos de estas construcciones: 私はスペイン語を勉強します。Estudio el español. (勉強する es verbo y スペイン語 es objeto.) 私はスペイン語の勉強をします。Hago el estudio del español. (する es verbo, 勉強 es objeto, y スペイン語の es como adjetivo para 勉強(estudio).) 彼はサッカーを練習(れんしゅう)します。Él practica el fútbol. (練習する es verbo y サッカー es objeto.) 彼はサッカーの練習をします。Él hace la práctica del fútbol. する es verbo, 練習 es objeto, サッカーの es como adjetivo para 練習.) Espero que te ayude y si todavía tienes duda, házmela saber.

買い物をします = hacer las compras, ir(se) de compras [to do shopping] (何を)買います = comprar algo [to buy sth.] === 良い一日をお過ごし下さい。／Deseo que tengas un buen día.