затем - для последовательности действий или событий.
"снял комнату, а затем приступил к поискам работы".
"нашёл работу и затем приступил к поискам жилья".
Наступил вторник, а за ним среда.
Наступил вторник, а затем среда.
(за ним - за вторником. за тем - за наступлением вторника)
Когда "затем" является частью другого выражения с предлогом "за" или с местоимением, "тем", например: "вслед за", мы "вспоминаем", что "за" - это предлог, а "тем" - это форма от "то". И пишем раздельно:
"Прислал письмо, а вслед за тем приехал."
или
"Прислал письмо, а вслед за этим приехал".
А когда слова "вслед" (или другого слова, употребляющегося с "за" или "тем") нет, мы "забываем" об этом и пишем "затем" слитно:
"Прислал письмо, а затем и сам приехал".
Имеется в виду:
приехал ЗА отправкой письма, ЗА тем, как послать письмо.
Когда я говорю "затем" - я сразу представлю цепочку действий/событий следующих друг ЗА другом.