"Escurrir" es hacer que una cosa suelte el líquido. Por ejemplo:
"Escurrir los espaguetis", para ello necesitas un "escurridor". También se pueden "escurrir" las verduras, la fregona, la ropa (poniéndola en el tendedero), etc.
Una expresión idiomática con este verbo es:
"Escurrir el bulto", que significa tratar de no hacer algo que uno debiera hacer.
"Exprimir" es extraer el jugo o zumo de un fruto retorciéndolo y apretándolo contra un "exprimidor" , de manera manual o con un exprimidor eléctrico.
También se puede usar en sentido figurado:
"Exprimirle el jugo a algo" , que significa sacarle a algo todo el partido posible.
Espero que te haya quedado clara la diferencia entre los dos verbos. ¡Saludos!