"Ponerme el mono" solamente no me suena (salvo que digas que te pones una prenda de vestir llamada mono pero en esta frase no la entiendo) sin embargo si decimos "ponerme el mono de trabajo" significa ponerte a trabajar.
Otra expresión parecida es hacer el mono, es decir, hacer el tonto, el payaso.
"Tener el mono" es cuando eres adicto a una droga y no has podido drogarte, entonces te pones malo y eso es tener el mono.