"Lo mejor" se refiere a cualidades que enaltecen a una persona, como la bondad, la ética del trabajo, el sentido de justicia, el amor, la honestidad, etc. Ejemplo:
Eres lo mejor que me ha pasado (le dice un hombre a su esposa o novia).
Cuando se refiere a cosas materiales o eventos les asigna una calidad muy superior respecto a cualquier cosa que se le compare dentro de su género. Ejemplo:
Ese computador que tiene Pepe es lo mejor.
Viajar a ese país fue lo mejor que me ha pasado.
"El mejor" se refiere a una cualidad particular o específica, y suele tener implícita una comparación. Ejemplo:
Messi es el mejor futbolista del mundo.
Neymar es muy bueno, pero Messi es el mejor de su equipo.
Hay otros usos, pero considero que esos pueden ser los más relevantes como idea general.
Saludos.