Je pense que c'est du français "relâché"!
Je serais plutôt d'accord avec toi: "fêter son premier mois / sa première année" serait certainement ma façon préférée de dire.
D'ailleurs, à strictement parler, dans ce cas-ci, "UN mois" est, par définition, singulier, donc ce serait, à mon avis, une erreur d'utiliser "ses" (pluriel). Alors, dire "SON" mois me semblerait tout à fait bizarre également!
Donc, oui, son premier mois, serait, à mon avis, la meilleure solution.