Yo diría que, aunque los dos comparten el objetivo de hacer reír a los demás, hay tres diferencias básicas.
1) La broma suele ser espontánea, se improvisa y puede ir adaptándose según las circunstancias para hacerla más larga y que la persona "víctima" (suele ser una sóla persona) no se dé cuenta. El chiste, en cambio, requiere de una memorización (ya que es una pequeña historia) y siempre se cuenta de la misma manera.
2) El chiste es contado por únicamente una sóla persona, mientras que en una broma pueden participar varios para hacerla así más creible a la/s persona/s a la/s que están bromenando.
3) El chiste tiene como objetivo reirse de una situación irreal que sólo existe en la mente del que lo explica, mientras que la broma usa a alguien físico como objetivo de las risas.