Ошибка - что-то сделанное не так, неверно. Неправильность в действиях, поступках, суждениях, мыслях. Например, ошибка написать слово "каза", надо "коза". Можно ошибиться в какой-нибудь игре и проиграть. Можно обидеть человека и понять, что это была ошибка с Вашей стороны. Ошибка - что-то незначительное.
Оплошность - то же что и ошибка. Применение этого слова даёт выражению особый эмоциональный оттенок (смысл). "Я оплошал" - Говорю о своей ошибке с иронией или сожалением, что надо было быть разумнее. " Вы допустили много оплошностей в своей работе"- Сообщаю человеку с укором, что он допустил явные ошибки.
Грех - это тяжёлая ошибка. Часто это слово применяется в религии. Например, нарушение заповедей Библии - это грех. Убийство, прелюбодейство, ложь, насилие, гордыня - это всё грехи. Есть выражение "греховные мысли" - этими мыслями вы нарушаете религиозную, общечеловеческую мораль. "Я грешен" - я совершил, тяжкий поступок и раскаиваюсь над этим. "Дьявол искушает нас грехами" - этим всё сказано.
Надеюсь, я не сильно умничал!