fateci,fatemi eccetera sono la composizione del verbo fare e della persona al quale si riferisce.
qui ti elenco le possibilità :
fammi = a me
fatti = a te
falle = a lei
fagli = a lui
facci = tu a noi
fatevi = voi a voi
fagli = tu a loro
fatele = voi a lei
fategli = voi a lui / voi a loro
fatemi = voi a me
fateci = voi a noi
spero di esserti stato utile