"取り交わす", "交換する"and "交わす"・・・基本的に同じ意味です。
でも、"取り交わす"はフォーマルな(formal)な場面で使われる言葉です。
As mamie san and cat lover san said, we formally use this phrase "契約を取り交わす".
In addition, "あいさつを交わす", "言葉を交わす" BUT we don't use "あいさつを交換する"
EX: "プレゼントを交換する" "名刺を交換する / 名刺を取り交わす"