En España decimos "formar un hogar, formar una familia", no fundar. 

Fundar un hogar lo usaríamos en el sentido que indica Esther en su comentario. "El padre..."

En mi opinión ambas expresiones son sinónimas cuando nos referimos a la familia. Yo puedo decir que hoy en día los jóvenes tienen muchas dificultades económicas para fundar un hogar/una familia.

Sin embargo, cuando es fuera de la familia, se suele emplear "fundar una hogar": El padre José ha fundado un hogar para los más necesitados.

Fundar una familia se usa cuando la intención principal es tener hijos.

Fundar un hogar es cuando se busca una estabilidad en tu vida con una casa, unos hábitos etc y que socialmente suele implicar tener hijos pero no tiene porque ser siempre.

Estas son las formas más típicas de uso pero, por ejemplo:

Fundo un hogar de acogida de animales. Esto es significa que alguien ha hecho un lugar para acoger animales abandonados y que tengan un sitio confortable donde vivir.

Ojo también se puede dar este caso.

Fundo una familia con sus perros. Seria una persona que ama tanto a sus perros que los trata como si fueran miembros de su familia (como sus hijos incluso).

Hola Stephanie

Fundar un hogar o fundar una familia desde mi punto de vista expresan lo mismo, como bien dices en el sentido de comenzar una vida junto a una pareja y, si se puede, tener hijos.

Cuando se trata de compartir la casa con un amigo generalmente decimos "me fui a vivir con un amigo" o "estoy viviendo con un amigo" (español de Chile). También he escuchado "comparto piso con un amigo" y "estoy rentando con un amigo"

Espero te sirva de ayuda

Saludos!