"Bora" surgiu da palavra "embora". E "embora" surgiu da contração de "em boa hora".
"Bora" é uma palavra usada para incentivar alguém a ir a algum lugar, geralmente conjugada no imperativo ou utilizada em perguntas. Então, é normalmente empregada quando você quer convidar alguém pra fazer alguma coisa com você. Acredito que seja usado realmente da mesma forma como o "Let's go".
Exemplos:
"Bora pra praia?"
"O expediente acabou, bora pro restaurante!"
"Você quer ir ao cinema? Bora!!"
p.s.: repare que em todos os exemplos, se tivesse usado o "vamos", o sentido não mudaria em nada. Mas "bora" é uma forma mais informal de construir a frase.
Espero que eu tenha ajudado, qualquer dúvida é só falar comigo :D