Entre proverbio y refrán, diría que son más o menos la misma cosa ya que remiten a la sabiduría popular y tienen forma fija.
Los proverbios expresan -en pocas palabras- pensamientos o juicios que vale la pena recordar (es decir, las enseñanzas)
Los refranes suelen ser rimados, o al menos suelen tener cierto "ritmo", que hace que sean fáciles de recordar.
Ejemplo: Al ave de paso, ¡cañazo!
Yo creo que hay una diferencia de matiz: en el proverbio lo importante es el mensaje por encima de la forma, de manera que se puede explicar el contenido con distintas palabras, mientras que el refrán es una frase hecha. Yo he oído "proverbios chinos", nunca españoles, aunque no digo que no existan. Y lógicamente son traducciones que se pueden hacer correctamente con palabras distintas. Pero si hay algún proverbio español estoy segura de que lo importante es el mensaje y que se puede decir de diversas formas.
"Dicho", es un término más genérico, que incluye, por supuesto, a los refranes y proverbios. "Adagio" suele tener un sentido más moralizante. Pero muchas veces son intercambiables.