Hola!
Lo más parecido a "I'm on a diet" es "Estoy a dieta".
La frase "Me pongo a dieta" también es correcta, en ambos casos en primera persona "Yo", aunque en esta última si falta como algo de contexto, podrías decir "A partir de enero me pongo a dieta"
"Pongo a dieta" y "Tengo a dieta" se utilizarían si te refieres a otra persona "tengo a dieta a mi hija"... "si sigues comiendo así te pongo a dieta"