Bueno, si nos vamos por lo que dice DLE, tenemos lo siguiente:
"melindroso, sa.
1. adj. Que afecta melindres (‖ delicadezas afectadas)".
En otras palabras, una persona excesivamente delicada a la que cuesta consentir. Por lo general, solo veo que se la usa en ejemplos similares a los mencionados por Yuri y Jassen, como este:
"Armando se pasa de melindroso, hasta para comer un sándwich usa cubiertos".