Si potrebbe forse riassumere il tutto in due frasi: Esisto per cui ci sono. Ci sono per cui esisto. Esistere sta per qualcosa che e' presente al mondo mentre esserci sta per qualcosa che sia e' presente al mondo sia che ha una presenza piu' specifica in un luogo abbastanza definito. Esistono libri di storia molto belli. (al mondo) Ci sono libri di filosofia molto belli. Potrei rifermi sia all ' esistenza al mondo o nella mia libreria ecc...

Molto spesso sono sinonimi e intercambiabili ma ESISTERE significa essere presente al mondo, anche senza specificare dove e anche se non in modo concreto e visibile, mentre ESSERCI è più concreto, vuol dire anche essere presente in un certo luogo concreto. Ad esempio: Esistono molti libri su questo argomento Ci sono molti libri su questo argomento = molti libri sono esistenti, sono stati scritti. In questo caso hanno lo stesso significato, ma ESISTONO è un po' più formale. Nel linguaggio informale usiamo più spesso ESSERCI. Ma in questi esempi NON posso usare il verbo ESISTERE: Se chiama Marco, digli che non ci sono. (=Io esisto al mondo, ma non sono presente qui e ora, sono in un altro posto) Stamattina c'è il sole. (= Il sole esiste, ma io voglio dire che stamattina il sole è visibile) Ci sono due gatti nel mio giardino. Non ho preso il caffè al supermercato perché non c'era la tua marca preferita (=quella marca esiste nel mondo, ma non era presente in quella situazione) perché in questi esempi ESSERCI significa essere presente concretamente in un luogo specifico, non esistere in generale nel mondo.

In generale, essere=to be, esserci=to be there/here (physically, awareness,etc.). Nel tue esempio: Corretto: Potrebbero esserci / Ci potrebbero essere delle prove di quello che affermo. Corretto: Potrebbero esistere delle prove di quello che affermo. Non corretto: Potrebbero essere delle prove di quello che affermo (if you are trying to say "There might be some proof of what I say"). Corretto: [Guarda, hai letto questi risultati?] Oh, potrebbero essere delle prove di quello che affermo! (if it means "[Those] might be proof of what I say!")

Puoi usare il verbo esistere quando ti riferisci all'esistenza come condizione umana, dunque "ci sei", "esisti". Puoi anche usare il verbo esistere per frasi come: "devo venire con te alla festa? No, non esiste!" come per dire che non ne hai intenzione. Il verbo "essere" con la particella "ci" si usa quando ad esempio dici: "devo esserci" (alla festa) nel senso che per esempio hai l'obbligo morale di andare. Se hai qualche dubbio o vuoi qualche esempio, chiedimi pure, sarò felice di aiutarti!