뜻은 같지만 '연락하기(를) 바랍니다'는 친절한 느낌보다 약간 명령조로 들릴 수 있어요. '연락해 주시기(를) 바랍니다'는 '주시기'가 부탁하는 투의 말이어서 더 상냥한 느낌을 줍니다. 동사 뒤에 '-아/어 주다'를 쓰면, 안 해도 되는 것을 해 달라고 부탁하는 의미가 들어가요 (영어의 'for me/someone'과 유사함). 예를 들어 '나 좀 도와줘', '저 좀 도와주세요'라고 하면 자연스럽지만, '나 좀 도와', '저 좀 도우세요'는 퉁명스럽게 들리고 뜻도 더 불확실해져요. 비슷한 표현의 예) - 주민께서는 이같은 사실을 유념해 주시기 바랍니다. - 사고로 인해 운행이 지체되는 점을 양해하여 주시기 부탁드립니다.

네 감사합니다!

The meaning of both sentences is almost same, so you can use any of them. But the latter one is sound like a little bit more polite.