13.
지하철을 차러 (X)
지하철을 타러 (O)
good.
The grammar is correct.
But it looks a bit awkward in context.
In general, we use the following context.
1. 기숙사에 쉬러 가요.
2.노래방에 노래하러 가요.
...
15. 서점에 만화책 사러 가요.
16. 학생 집에 영어 가르치러 가요.
Changing the word order like this will not include [~을/를], and the context will look more natural.