这是我的出生证明复印件，还有社保卡（“社会保障卡” for short, it's more common in daily talk）

这是一份本人的出生证和社保卡的复印件。 my = 本人的 or 我的， in this context, 本人的 is a better choice 出生证 is short for 出生证明. 社保卡 is short for 社会保障卡.

這是我的 出生證明書 和 社會安全卡 ( cared ? card ?)

这是我的一份出生证明，还有一份社会保障书。

The simplest translation is that 这是我出生证明和社保卡的复印件