Yes it does.
1. I wake up at 6 every morning. - Yo me despierto a las 6 todas las mañanas.
Despertarse: yo me despierto, tú te despiertes, él se despierta, ella se despierta
Nosotros nos despertamos, vosotros os despertaís, ellos/ellas se despiertan
2. I woke up at 6 this morning - Yo me desperté a las 6 esta mañana.
Yo me despertaste, tú te despertaste, él/ella/usted se despertió
etc
I hope this helps. If you have any further questions, feel free to ask me.