You are correct. 보고 싶어 죽겠어 I want to see him(my lover) so much.

맞습니다. "(형용사)~어 죽겠다"는 강조 표현이에요. Correct. "(adj.) + ~어 죽겠다" It's an emphasis. 영어처럼, "죽을 정도로 ~한다"라는 의미, 또는 말 그대로 "너무 ~해서 죽을 것 같다"죠. Like English, it means "I'm ~ to death", or literally, "I'm dying because it's[I'm] so ~." 지루해 죽겠다: I'm dying because i'm so bored. / I'm bored to death. 배고파 죽겠다: I'm dying because i'm so hungry. / I'm hungry to death. [I'm STARVING!] 무서워 죽겠다: I'm dying because it's so scary. / I'm scared to death. [It's so HORRIBLE!] 사나가 예뻐 죽겠다: I'm dying because Sana is so adorable. / I adore Sana to death. 흥미로운 건, "보고 싶어 죽겠어"라는 말의 뜻이 영어의 "I'm dying to see you"와 똑같다는 거죠. What's interesting is that the meaning of "보고 싶어 죽겠어" is exactly same with that of "I'm dying to see you." 여기서 하나 더, "잠깐, 그런데... '보고 싶다'는 동사 아닌가요?" Plus. "Wait, but... '보고 싶다(want to see you)' is a verb, isn't it?" 아닙니다. '-싶다'는 보조형용사로, 동사 뒤에 붙어서 형용사처럼 쓰여요. 영어랑 다르게 '~하기를 원한다'의 의미를 지녔지만 동사가 아닙니다. Well, it isn't. "-싶다" is a sub-adjective and used as adjective, attached to a verb. Unlike English, it means 'want (to-)' and is not a verb. 즉 "보고 싶다"라는 구는 형용사구인 거죠. So, The phrase "보고 싶다" is an adjectival phrase.

문맥이 없는 것 같아요. 저는 문맥을 쉽게 설명할 수 없는 것 같아요. 'What is Love?'라는 트와이스의 노래에서 있는 문장이에요.

죽겠다 는 다양한 의미로 쓰입니다. 힘들다 혹은 앞의 형용사 를 강조할때 또는 싫다는 뜻도 있읍니다, 그래서 문맥을 이해하는것이 먼저입니다. 말씀하신 내용은 보고싶다 많이 로 이해하시면 됩니다.