El otro día me suena tan natural que incluso yo lo digo a menudo. Cuando yo lo digo es para referirse a cualquier día de la semana que ya ha transcurrido.

"El otro día" Es correcto y es bastante común usarlo en México. Es verdad que es inexacto, pero esa es su función. Para cuando no quieres o no puedes especificar el día exacto. El otro día salí con mis amigas. También podemos usarlo así: Otro día podemos ir por un café.

Aunque no explica de forma exacta a cuando te estás refiriendo, y se usa es contextos mas informales, es válida y bastante común. De todas formas los términos que te comentó el chico también son válidos y puedes usarlos para ser mas precisa.

Cada país habla de manera distinta y a muchos le molesta si te equivocas en las palabras o la gramática. Y es como vos decís, soy Argentina y es común decir "el otro dia". Por otro lado si fue alguien conocido por este medio u otro, tendria que ser más comprensivo y saber que estas estudiando un idioma, por más que lo sepas en fluidez, como opinión personal, por más que hablemos otro idioma no terminamos de conocer 100% su gramática o el significado de todas las palabras. Por ejemplo yo estoy practicando portugués, por suerte conocí a personas muy amistosas que me explicaron que no puedo decir ciertas palabras porque es una acusación o tiene distinto significado. La palabra que les dije fue "MOLESTANDO" (acá en Argentina no tiene un significado grave) pero en Brasil hace referencia a que un adulto cometió un abuso sexual hacia un niño ñ/a. Ellos tampoco dicen Q(qu) dicen (qe) porque significa cu**, o Z(zeta) dicen (ze) porque significa o hace referencia a la parte femenina de la mujer y se puede tomar como insulto.

Sí, puedes decirlo con tranquilidad.