「探検」 is an exploration but basically something you venture.
「遠征」 basically means to go(征)far(遠)
In a dictionary for 「遠征」:
A) An expedition to chastise distant enemies.(十字軍の大遠征)
B) To go far away for a game, a tour, climbing and an exploration.(サッカーの遠征試合。バンドの遠征ライブ。ヒマラヤへ遠征する)
「探検」 and 「遠征」 is nouns. By adding 「する」 following the nouns you can get verb forms: 「探検する」「遠征する」