1."Yo le compré una corbata" sí se usa. Si estoy hablando con una persona y esa persona sabe que me refiero a Pedro, no hay necesidad de mencionar a Pedro, es el contexto el que me hace decidir si es necesario mencionar a Pedro o no. Ahora, si estás informando sobre lo que les has comprado a varias personas, como por ejemplo "Le compré una corbata a Pedro y unos calcetines a Juan" pues sí que es necesario y se menciona a quien le compras cada cosa.
2."Yo compré una corbata a Pedro" no se usa normalmente, aunque no es incorrecto gramaticalmente. Si quiero decir a quién le compro la corbata ("a Pedro") y esta persona es una persona concreta y conocida, normalmente colocamos lo que tú llamas "complemento doble" y si no lo hacemos los hablantes sentimos que falta algo. (Atención que esto es cuando el complemento es indirecto, como en el caso que pones de ejemplo, no cuando el complemento es directo, por eso no decimos "Lo vi a Pedro ayer").
3. Finalmente, todo lo de los puntos 1 y 2 funciona cuando se refiere a tercera persona singular y tercera persona plural porque, dependiendo del contexto, a veces no se sabe de quién o quiénes estás hablando y por eso necesita mencionarse "a quien". En cambio, cuando alguien dice "Juan me compró un libro", el pronombre "me" solo refiere a la persona "yo" y por eso no es necesario poner "a mí" luego. Igual sería para las otras personas gramaticales (tú, nosotros y vosotros/ustedes), no hay necesidad de especificar "a quien" porque el pronombre ya lo indica. En este caso normalmente decir "a mí" tiene una intención de poner énfasis en que es "a mí" y no a otra persona, pero no se usa si no se quiere enfatizar esto.