Hola, Gemma. El uso de uno u otro término depende de lo que el hablante quiera expresar. Pues en español puedes decir: las responsabilidades me abruman o las responsabilidades me agobian. Es el hablante quien elige en dependencia de su expresividad o de su idiolecto, también, pues en España, por ejemplo, "agobiarse" se usa más frecuentemente que en otras variantes del español.
Lo primero es que Agobiar tiene la forma pronominal Agobiarse, muy usada. La forma pronominal en Abrumar es menos frecuente, al menos en mi experiencia como hablante, o sea, que Abrumarse se usa, pero es menos frecuente.
Si algo te "agobia" quiere decir que te pesa, te abate, te oprime, te dobla, metafóricamente hablando: "Carmen se agobia con cualquier cosa". Significa que todo le pesa, todo es demasiado para ella.
Abrumar viene de "bruma", de algo confuso, que provoca aturdimiento o incapacidad para hallar la solución.
Ej. "Me siento abrumada con tantos contratiempos". Que estés abrumada, superada por tantas preocupaciones, puede llevarte al Agobio total.
De todas formas, ante la duda, pásate por el diccionario online de la RAE.
Espero haberte ayudado.
Saludos
Gisela