Umgehen mit jemandem oder etwas
Umgehen scheint viele Dinge zu bedeuten. Habe ich diese Bedeutungen richtig verstanden?:

Die Kindern gehen in der Schule miteinander um. (The children are messing around with each other in school.)

Ich gehe vorsichtig mit ihren Gefühle um, weil sie sehr traurig ist. (I am very careful with (or mindful of) her feelings because she is very sad.)

Danke.

Question

Umgehen mit jemandem oder etwas
Umgehen scheint viele Dinge zu bedeuten. Habe ich diese Bedeutungen richtig verstanden?:

Die Kindern gehen in der Schule miteinander um. (The children are messing around with each other in school.)

Ich gehe vorsichtig mit ihren Gefühle um, weil sie sehr traurig ist. (I am very careful with (or mindful of) her feelings because she is very sad.)

Danke.

Answer

Das Verb "umgehen" hat grundsätzlich eine neutrale Bedeutung, etwa wie die englischen Verben "to handle something" oder "to interact". Eine negative Bedeutung wie in Deinem ersten Beispielsatz, oder auch eine positive, bekommt es nur durch einen zusätzlichen Kontext. Etwa: 
"Es ist schlimm, wie Kinder heutzutage miteinander umgehen." (negativ)
"Er geht sehr fürsorglich mit seinem Haustier um. " (positiv)
Wenn man solche Sätze ins Englische überträgt, benutzt man eher ein Verb, das diesen Kontext mit beinhaltet.

Answer

Nicht ganz. "Die Kinder gehen in der Schule miteinander um" = The children interact (with each other) at school.
Der Satz mit den Gefühlen ist richtig.