Ho provato a fare l'esercizio e anche a capire perchè si usa DI o DA in ogni caso:
1) Vengo da un piccolo paese in provincia di Cagliari.
(Da si usa qui come un preposizione del luogo per esprimere l'origine o la provenienza con i verbi del movimento - venire da, arrivare da, tornare da).
2) Non ho comprato queste tazzine da caffè per la zia, bensì per lo zio!
(Da si usa qui per indicare l'uso o lo scopo dell'oggetto, in questo caso - le tezzine).
3) Elena deve iniziare a studiare, di nuovo da capo, per il suo esame, sennò non lo passerà.
("Da capo" è un locuzione fisso. Forse anchè qui il capo è considerato "un luogo" da cui inizia il processo di studia).
4) Di tanto in tanto ci piace esplorare paesi nuovi!
(Questo è anche un locuzione, ma non so perchè si usa il preposizione di. So invece che "Da tanto" ha un significato diverso - "da molto tempo)
5) Luca mi ha chiesto se dovessi venire con noi allo spettacolo: devo dirgli di si o di no?
(Questo non è molto chiaro per me: perchè non si dice semplicemente: "devo dirgli si o no"? Ma c'è una bella canzone intitolata: "devi dirmi di sì" :)
6) Hai fatto tutto questo da sola?
(Credo che la preposizione DA si usi qui perchè esprime il modo in cui le cose sono fatte).